受控混沌系统的反馈结构

第1章 问题的提出[LS1]
　　我在学术生涯的*后几年里，被一个偶然机缘引进了混沌控制理论这个原本不熟悉的研究领域。辛苦的跨行研究中发现问题多多，求真欲一发难以收拾，出于学术研究的本能、好奇心和使命感，决心非要整个水落石出。
　　起因是2010年我申请的一项题为《混沌系统的抗退化机制研究》的国家自然科学基金，在同行专家返回的评审意见中，有一专家认为我的申请书中没有提及或不了解陈关荣、汪小帆的同类先进的研究工作，并推荐了他俩的合著《动力系统的混沌化——理论、方法与应用》[1]。强烈刺激我跨行研究“混沌反馈控制”理论，相关的返回意见摘录：“解决抗退化效应的一种*为有效的途径是基于混沌反控制的方法，这原本属于动力系统混沌化的理论与方法的一个研究领域。例如，在离散系统中，可通过预先配置任意正的李氏指数来解决抗退化和混沌化的问题，这个问题目前在国际上已取得实质性的进展，例如中国内地的汪小帆、香港的陈关荣等在这方面的工作尤为突出。需要特别指出的是，申报书中第18页的公式(4)和公式(5)，本质上应该属于由汪小帆和陈关荣提出的混沌反控制方法。请参考下面的文献：陈关荣、汪小帆著，《动力系统的混沌化——理论、方法与应用》，上海交通大学出版社，2006年。但申报人在申报书的国内外研究现状中并未提及他们两人的工作，也未在参考文献中列出这部重要著作。”
　　[LS2]在混沌安全性方面，自认为我的研究有了一定的深度，并找到了突破的方向，发现了截断误差在数字化进程中使系统复杂化的有力证据，有几个类似量子化的特征[2-4](非物理的量子)，竭力做到学术的严谨，可偏偏就不了解陈关荣、汪小帆先生这样的国内外知名华人大学者的杰出贡献。当时赶紧网购《动力系统的混沌化——理论、方法与应用》，希望尽快找到混沌抗退化的新思路和启示，那种渴望和急迫的心情可想而知。
　　可能是期望越高失望也越大的原因，起初满腔热忱读了两章，仿佛有新鲜感，但当深入细致接触“汪小帆和陈关荣提出的混沌反控制方法”的实质内容后，深感失望。
　　首先，陈关荣、汪小帆也承认没有解决数字混沌退化问题。《动力系统的混沌化——理论、方法与应用》第86页有一段表述：“数字混沌映射的周期性对密码系统的安全性来说是不利的。在实际应用中，希望所选择的数字混沌映射具有尽可能大的周期性。也就是说，要求研究一个映射的周期P和控制参数之间的关系，如P=P(N)。但不幸的是这类关系很难获得。对每一个特定的数字混沌映射，都需要利用数论和遍历性理论等专门的数学工具进行独立的研究。并且，目前尚没有理论的研究结果可以指导这方面的计算”。可见，评审专家的说法与陈关荣、汪小帆说法矛盾，陈氏反馈混沌化理论并没有解决数字混沌退化机制的理论问题。
　　其次，仔细研读《动力系统的混沌化——理论、方法与应用》后发现，“Chen-Lai算法”不仅其数学描述存在太多的错误，而且理论体系也存在严重的概念错误和逻辑错误(见第6章)。我的第一反应是这绝对不可能。我那时主要关注混沌密码理论研究。在我看来，混沌密码理论是混沌理论和传统密码学理论结合的一个小众领域，与混沌控制理论关系不大，与陈氏的混沌化理论关系也不大。因为研究混沌密码，故读到李树钧博士论文《数字化混沌密码的分析与设计》[5]，其中答辩委员会主席王育民是中国密码学界知名人士，陈先生是排在第一位的论文评阅人，理应身手不凡。后来得知一些研究混沌控制的圈内朋友总是去香港城市大学陈先生那里做学术访问、进修或博士后，可见陈先生在国内学界地位之崇高。虽然以前没有读过陈先生的学术论文和学术专著，但对陈先生的名气和学术上的成就的确相当敬仰，故第一次读到陈先生的这本《动力系统的混沌化——理论、方法与应用》，好奇心和求真欲驱使我继续往前走，去寻找一个不知能不能得到的答案。
　　于是，带着敬仰、怀疑和质疑的复杂心情，尝试探究陈氏混沌化理论形成的原因，解开为什么会有那么多学者追捧这一理论的谜团。从陈氏混沌化理论出发，追根溯源，直到Ott等[6]发表的第一篇关于混沌控制的著名论文，让我窥见混沌控制理论曾经场面浩大，多少学者为之不歇探索求真，虽然混沌控制理论只是混沌理论的一部分，混沌理论又只是非线性理论的一个小众领域[7]。受本人能力和条件所限，当时能找到的重要文献主要集中在2010年前的Physical Review Letters(PRL)和Physical Review E(PRE)。研究这些文献又发现，问题的源头不在陈氏混沌化理论而在混沌反馈控制理论，陈氏混沌化理论只不过是混沌反馈控制理论的副产品或衍生产品，例如，一个非常有意思的现象，对于混沌控制这样一个小众的研究领域，仿佛出现了数不清的控制方法，随便几篇混沌控制的文献，说不定就会遇到一种新的控制方法！在一个小众研究领域居然会冒出那么多的新方法，让我感到十分惊奇。好奇心和求真欲驱使我去研究混沌反馈控制理论。
　　研究发现：混沌反馈控制理论存在的问题使得这一理论根本就谈不上成为一个所谓的理论体系。然而，却有那么多学者热衷为这一理论体系付出毕生努力，各种各样的混沌反馈控制方法相继面世，在一段时期内相关研究文献暴增。更不可思议的是衍生出来的有悖常理的所谓新概念如“分数阶电感”、“分数阶电容”可登上大雅之堂[8，9]，而持相反观点的质疑论文难觅踪迹，似乎根本就没有人质疑过它。也许是渠道不畅，至少我进入这个领域后质疑论文多次被拒。
　　混沌反馈控制理论存在的所有问题都指向一个词“反馈”，本质上它涉及系统的结构，形式上涉及“反馈的数学表达”和“反馈的图释”及这两者之间的相互印证。受控混沌系统的反馈结构是混沌控制理论的基本理论问题，理论的重要性远胜于应用层面的控制方法本身，鲜有人真正认识到这一点。研究场面曾经那么浩大的混沌反馈控制理论，生产了那么多的研究文献，关于控制方法的文献多如牛毛，但鲜有真正关注、深入研究受控混沌系统反馈结构问题的文献，我只找到了Genesio等的两篇原创文献[10，11]，很奇怪这两篇文献并没有进入那个时期主流学派的视野；有个别文献留下了关于混沌系统反馈结构的只言片语[12]，也仅仅猜猜而已，这不能不说是混沌反馈控制理论的悲哀。
　　本书以受控混沌系统的反馈结构为理论突破口，以“反馈”概念为纽带，借用系统论中严格定义的反馈概念来厘清混沌反馈控制理论中被错用误用的一些基本概念。本书主要章节内容均是首次发表，若有人被涉及，那也只是因文献出处所致，学术上有据可查，澄清逻辑概念，纯属学术争鸣。
　　本书主体部分共分6章论述。
　　第2章通过回顾混沌控制理论的起源，特别关注反馈一词及反馈概念如何引入混沌控制理论进而演进出“混沌反馈控制理论”及其他系列概念，研究问题发生的原因。涉及现有理论框架的几个基本概念，就控制目标而言有混沌控制、混沌反控制和混沌化；就控制方法而言有反馈控制和非反馈控制(又称为闭环控制和开环控制)，反馈控制方法又分为以Ott等提出的OGY方法[6]为代表的系统参量微扰控制方法和以Pyragas提出的延迟反馈控制(delay feedback control，DFC)方法[13]为代表的系统变量微扰控制方法。这些基本概念是混沌控制理论的核心概念，都与“反馈”概念紧密联系，“反馈”概念的正确与否会直接影响混沌控制理论体系的合理性。研究发现，“反馈”概念是逐步渐近式引进混沌控制理论中去的，没有经过严格定义，学者们各自陈述的概念难以互相印证。
　　第3章是本书的理论基础。从系统论控制论中严格定义的“系统”和“反馈”基本概念出发，分别引出全局反馈、局域反馈、输入信号、输出信号、反馈信号、无限冲击响应系统(时序系统)和有限冲击响应系统(逻辑系统)、微分动力系统和映射系统等概念；证明混沌系统是具有反馈结构的时序系统，受控混沌系统具有双反馈结构；特别还证明反馈是实现控制的必要条件，OGY方法、DFC方法和非反馈控制方法本质上都是通过反馈实现的系统参量微扰方法。
　　第4章继第3章陈述的基本概念，理顺混沌反馈控制理论中常见且混用的四对基本概念——反馈控制和非反馈控制、时序系统和逻辑系统、输入信号和控制信号、局域反馈和全局反馈，只有这四对概念分辨清楚了，才有可能理解为什么混沌反馈控制理论存在那么多被质疑的问题。
　　第5章在第3章和第4章基础上，专门讨论分析Pyragas的延迟反馈控制DFC方法。DFC方法是一种不同于OGY方法的混沌控制方法，对混沌控制也是成功的，这一点没有问题。但是，它的理论诠释是错误的，这种理论诠释的错误在控制方法本身获得成功的前提下对混沌控制理论体系造成的伤害巨大。DFC方法将个别学者对“反馈”概念错误的解读提升到错误的理论诠释并成为业内广泛认可的错误通式，是混沌控制理论误入歧途的一个关键节点。Pyragas的延迟反馈控制理论因为得到普遍认可，许多混沌反馈控制的文献多少都能够找到DFC方法错误诠释的痕迹，从受控混沌系统结构上看也正是陈氏混沌化理论的源头。
　　第6章讨论分析陈氏反馈混沌化理论。主要分析了这一理论的数学表述的合理性和逻辑问题，以及它与DFC方法的理论渊源，*后回应了前面提到的“申报书中第18页的公式(4)和公式(5)，本质上应该属于由汪小帆和陈关荣提出的混沌反控制方法”涉及的理论问题[14，15]。[LS3]
　　第7章讨论混沌反馈控制理论的三个衍生议题，包括混沌密码和混沌保密通信、分数阶混沌、分数阶电感和分数阶电容。除了一般的理论分析外，特别就分数阶微积分理论提出了一种新的数学解释和解析计算方法，也间接证明了分数阶混沌系统的存在性问题。
　　*后，给读者重点提示两篇文献[16]、[17]，从内容上看，关于“反馈”概念，它们为Pyragas错误诠释DFC方法的提供了参考模板，而后者则是前者的理论升华。
　　参考文献
　　[1] 陈关荣， 汪小帆. 动力系统的混沌化——理论、方法与应用. 上海: 上海交通大学出版社， 2006.
　　[2] 盛利元， 贾伟尧. 一个截断误差诱导下的随机数字振荡系统. 物理学报， 2005， 54(12): 5574-5570.
　　[3] 盛利元， 贾伟尧， 吴舒辞， 等. 截断误差诱导阵发混沌与拓展维. 物理学报， 2007， 56(7): 3753-3759.
　　[4] 盛利元， 张刚. 截断误差导致的非双曲不动点邻域拓扑变异. 物理学报， 2010， 59(9): 5972- 5979.
　　[5] 李树钧. 数字化混沌密码的分析与设计. 西安: 西安交通大学， 2003.
　　[6] Ott E， Grebogi C， Yorke J A. Controlling chaos. Physical Review Letters， 1990， 64 (11): 1196-1199.
　　[7] Kaplan D， Glass L. Understanding Nonlinear Dynamics. New York: Springer， 1995.
　　[8] 王发强， 马西奎. 电感电流连续模式下Boost变换器的分数阶建模与仿真分析. 物理学报， 2011， 60(7): 070506-070513.
　　[9] 谭程， 梁志珊， 张举丘. 电感电流伪连续模式下分数阶Boost变换器的非线性控制. 物理学报， 2014， 63(20): 200502-200507.
　　[10] Genesio R， Tesi A. Chaos prediction in nonlinear feedback systems. IEE Proceedings-D， 1991， 138(4): 313-320.
　　[11]Genesio R， Tesi A， Villoresi F. A frequency approach for analyzing and controlling chaos in no

《受控混沌系统的反馈结构》从另一视角对混沌反馈控制理论存在的问题进行了深入而系统的评述。这一特殊想法源于著名的Chen-Lai算法，这使作者一直追溯到混沌控制理论的源头。探索分析了“反馈”一词如何被引入混沌控制理论的历史过程、“反馈”概念如何被异化被滥用的发展轨迹；深入研究了受控混沌系统的反馈结构这一基础理论问题，论证了受控混沌系统具有双反馈结构；特别澄清了混沌控制理论中常见被误用的四对基本概念(反馈控制和非反馈控制、时序系统和逻辑系统、输入信号和控制信号、局域反馈和全局反馈)；深入分析了Pyragas的延迟反馈控制(delay feedback control，DFC)的理论诠释；深入剖析了陈氏反馈混沌化理论的数学表述、合理性和逻辑问题；*后，针对混沌反馈控制理论的三个衍生议题——混沌密码和混沌保密通信、分数阶混沌、分数阶电感和分数阶电容中存在的理论问题进行了适度讨论和分析。

目录
前言
第1章 问题的提出 1
参考文献 4
第2章 反馈控制概念的溯源 6
参考文献 14
第3章 受控混沌系统的反馈结构 18
3.1 系统与反馈 19
3.2 离散时间混沌系统的反馈结构 26
3.3 连续时间混沌系统的反馈结构 28
3.4 受控混沌系统的反馈结构 34
3.4.1 Genesio等的双反馈结构 34
3.4.2 受控混沌系统的双反馈结构 36
3.5 本章小结 44
参考文献 44
第4章 澄清四对概念 46
4.1 反馈控制和非反馈控制 46
4.2 时序系统和逻辑系统 50
4.3 输入信号和控制信号 52
4.4 局域反馈和全局反馈 55
4.5 本章小结 58
参考文献 58
第5章 Pyragas的延迟反馈控制理论 60
5.1 OGY方法 60
5.2 DFC方法 63
5.3 DFC方法再讨论 65
5.3.1 DFC方法的理论模型 65
5.3.2 F(t)再议 72
5.3.3 DFC方法的图释 73
5.3.4 与OGY方法比较 76
5.4 本章小结 78
参考文献 79
第6章 陈氏反馈混沌化理论 81
6.1 Chen-Lai算法 81
6.1.1 问题的描述 81
6.1.2 具体算法 82
6.1.3 控制器为锯齿函数的实例 83
6.2 Chen-Lai算法分析 84
6.2.1 算法的数学表述 84
6.2.2 算法的理论问题 89
6.3 Wang-Chen算法分析 93
6.3.1 算法的简略复述 93
6.3.2 算法分析 94
6.4 关于“第18页的公式(4)和公式(5)” 97
6.5 本章小结 115
参考文献 116
第7章 三个衍生议题 118
7.1 混沌密码和混沌保密通信 118
7.1.1 混沌密码 118
7.1.2 混沌保密通信 121
7.2 分数阶混沌 122
7.2.1 分数阶微积分 122
7.2.2 分数阶混沌 131
7.3 分数阶电容和分数阶电感 136
7.4 本章小结 139
参考文献 139
第8章 后记 143